4.2 ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS
Con objeto de desarrollar
algo de comprensión en cuanto al método de aplicar la fórmula del cortante, y
también ver algunas de sus limitaciones, estudiaremos ahora las distribuciones
del esfuerzo cortante en unos cuantos tipos comunes de secciones transversales
de vigas. Luego presentaremos
aplicaciones numéricas de la fórmula del cortante en los ejemplos siguiente.
Sección transversal
rectangular. Consideremos que la viga
tiene una sección transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra
en la figura 5A. La distribución del esfuerzo
cortante a través de la sección transversal puede determinarse calculando el
esfuerzo cortante en una altura arbitraria y medida desde el eje neutro, figura
5B, y luego graficando esta función. El
área con sombra oscura A´ se usará aquí para calcular r. Entonces,
Q=ӯ´A´=[y+
=
Aplicando la fórmula del cortante, tenemos
Este resultado indica que la distribución
del esfuerzo cortante sobre la sección transversal es parabólica. Como se muestra en la figura 5C, la
intensidad varía entre cero en la parte superior y el fondo, y=±h/2, y un valor
máximo al nivel del eje neutro, y=0. Específicamente, puesto que el área de la
sección transversal es A=bh, tenemos entonces en y=0, de la ecuación 4.
rmax=1.5
Este mismo resultado para rmax
puede obtenerse directamente con la fórmula del cortante r=VQ/It, observando
que rmax se presenta donde Q es máxima, ya que V, I y t son
constantes. Por inspección, Q será un máximo cuando se considere
toda el área arriba (o abajo) deleje neutro; esto es, A´=bh/2 y y´=h/4. Asi,
rmax =
=1.5
Por
comparación, rmax es 50% mayor que el esfuerzo cortante
promedio determinado con la ecuación 7; es decir rprom=V/A.
Es importante recordar que para toda r
que actúa sobre la sección transversal en la figura 5C, se tiene un
correspondiente r actuando en la dirección longitudinal a lo largo de la
viga. Por ejemplo, si la viga es seccionada
por un plano longitudinal a través de su eje neutro, entonces, como se indicó
arriba, el esfuerzo cortante máximo actúa sobre este plano, figura 5D. Este es el esfuerzo que ocasiona que una viga
de madera falle según se muestra en la figura 6. Aquí la rajadura horizontal de la madera comienza
al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que las reacciones
verticales someten a la viga a grandes esfuerzos cortantes y la madera tiene
una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que están orientadas
en dirección longitudinal.
Es instructivo mostrar que cuando la
distribución del esfuerzo cortante, ecuación 4, se integra sobre toda la
sección transversal, se obtiene la fuerza cortante resultante V. Para hacer esto, se escoge una franja diferencial
de área dA=b dy, figura 5C, y como r tiene un valor constante sobre esta
franja, tenemos:
=
y-
-h/2h/2
=
(h)-
Viga de patín ancho. Una viga de patín
ancho se compone de dos patines (anchos) y un alma como se muestra en la figura
7ª. Con un análisis similar al anterior
se puede determinar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre su sección transversal. Los resultados se ilustran gráficamente en
la figura 7B y 7C. Como en el caso de la
sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente a
lo largo del peralte de la viga, ya que la sección puede ser tratada como la
sección rectangular, que primero tiene el ancho del patín superior, b, luego el
espesor del alma, talma, y otra vez el ancho del patín inferior,
b. En particular, adviértase que el
esfuerzo cortante variará sólo ligeramente a través del alma, y también, que el
esfuerzo cortante experimenta un salto en la unión de patín y alma, puesto que
el espesor de la sección transversal cambia en este punto, o en otras palabras,
que t en la fórmula del cortante cambia. En comparación, el alma soportará una
cantidad significativamente mayor de la fuerza cortante que los patines. Esto se ilustrará numéricamente en el ejemplo
2.
Límites en el uso de la fórmula del
esfuerzo cortante. Una de las
principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la fórmula del
cortante es que el esfuerzo cortante está uniformemente distribuido sobre el ancho
t de la sección donde se calcula. Es
decir, el esfuerzo cortante promedio se calcula a través del ancho.
Se puede someter a prueba la exactitud de esta suposición comparándola
con un análisis matemático más exacto basado en la teoría de la
elasticidad. A este respecto, si la
sección transversal de la viga es rectangular, la distribución real del
esfuerzo cortante a través del eje neutro varía como se muestra en la figura
8. El valor máximo r´max se
presenta en los bordes de la sección transversal, y su magnitud depende de la
relación (b/h)(ancho/peralte). para secciones con b/h=2, r´max es
casi un 40% mayor que rmax, figura 8B. El error se vuelve aún mayor
a medida que la sección se torna más plana, o a medida que se incrementa la
relación b/h. Los errores de esta magnitud
son ciertamente intolerables si se utiliza la fórmula del cortante para
determinar el esfuerzo cortante en el patín de una viga del patín ancho, según
se indicó antes.
Asimismo, habrá que señalar que la
fórmula del cortante no dará resultados precisos cuando se utilice para
determinar el esfuerzo cortante en la unión patín-alma de una viga de patín
ancho, puesto que éste es un punto de cambio repentino de la sección
transversal y, por consiguiente, en este lugar se presenta una concentración de
esfuerzo. Además, las regiones internas
de los patines son superficies libres, figura 7B, y, en consecuencia, el
esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero. No obstante, si se aplica la fórmula del
cortante para determinar los esfuerzos cortantes en estas superficies, se
obtiene un valor de r´ que no es igual a cero, figura 7C. Afortunadamente, estas limitaciones para la
aplicación de la fórmula del cortante a los patines de una viga no son
importantes en la práctica de la ingeniería.
Con mucha frecuencia los ingenieros sólo tienen que calcular el esfuerzo
cortante máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro, donde la razón b/h
(ancho/peralte) es muy pequeña y, por consiguiente, el resultado calculado se
aproxima mucho al esfuerzo cortante máximo verdadero tal como antes se explicó.
Se puede señalar otra limitación
importante en el uso de la fórmula del cortante con respecto a la figura 9ª, la
cual muestra una viga de sección transversal irregular o no rectangular. Si se aplica la fórmula del cortante para
determinar el esfuerzo cortante (promedio) r a lo largo de la línea AB, tendrá
la dirección mostrada en la figura 9BVG. Considérese ahora un elemento del material
tomado del punto limítrofe B, de tal modo que una de sus caras se localice en
la superficie externa de la viga, figura 9C.
Aquí el esfuerzo cortante calculado r en la cara frontal del elemento se
descompone en las componentes, r´y r´´.
Por inspección, la componente r´ debe ser igual a cero, puesto que su componente
longitudinal correspondiente r´, que actúa cobre la superficie limítrofe libre
de esfuerzo, debe ser cero, Por
consiguiente, para satisfacer esta condición, el esfuerzo cortante que actúa
sobre el elemento en la superficie limítrofe deber ser tangente a ésta. La distribución del esfuerzo cortante a lo
largo de la línea AB tendría entonces la dirección que se muestra en la figura
9D. Debido a la máxima inclinación de
los esfuerzos cortantes en las superficies limítrofes, el esfuerzo cortante
máximo ocurrirá en los puntos A y B. Valores
específicos del esfuerzo cortante se deben obtener mediante los ´principios de
la teoría de la elasticidad. Sin embargo, advierta que se puede aplicar la
fórmula del cortante para obtener el esfuerzo cortante que actúa a través de
cada una de las líneas marcadas en la figura 9ª. Estas líneas intersecan las tangentes a las
fronteras de la sección transversal según +ángulos rectos y, como se muestra en
la figura 9E, el esfuerzo cortante transversal es vertical y constante a lo
largo de cada línea.
Para resumir los puntos anteriores, la
fórmula del cortante no da resultados exactos cuando se aplica a miembros de
sección transversal corta o plana, o en puntos donde la sección transversal
cambia repentinamente. Tampoco se deberá
aplicar a través de una sección que corte el contorno del miembro con un ángulo
diferente de 90°. Más bien, en estos
casos se deberá determinar el esfuerzo cortante por medio de métodos más
avanzados basados en la teoría de la elasticidad.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS.
Se puede usar la fórmula del cortante
para encontrar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección
transversal de un miembro prismático recto de material homogéneo y
comportamiento elástico-lineal. Se
requiere que la fuerza cortante interna que se origine se dirija a lo largo de
un eje de simetría de la sección transversal.
Asimismo, el principio de Saint-Venant exige que se aplique la fórmula
del cortante en puntos alejados de cualesquier discontinuidad en la sección
transversal y de los puntos de carga concentrada. Para aplicar la ecuación, se sugiere el
siguiente procedimiento.
Fuerza cortante interna. Seccione el miembro perpendicularmente a su
eje en el punto donde se va a determinar el esfuerzo cortante y use un diagrama de cuerpo libre y una ecuación de
equilibrio apropiado a fin de obtener la fuerza cortante interna V en la
sección.
Propiedades de la sección. Determine la posición del eje neutro, que pasa
por el centroide de la sección transversal. Luego determine el momento de
inercia I de toda la sección respecto al eje neutro. Pase una sección imaginaria por el punto
donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la sección trasversal en
dos partes. Mida el ancho t del área en
esta sección respecto al eje neutro.
Pase una sección imaginaria por el punto donde va a determinarse el
esfuerzo cortante, cortando la sección transversal en dos partes. Mida el ancho t del área en esta sección. La
porción del área que queda ya sea arriba o debajo de este corte es A´. Determine Q por integración, Q=
o
bien usando Q= A´. Aquí ӯ´ es la
distancia del centroide de A´ es la porción de la sección transversal que está
unida al miembro mediante los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 4D.
Esfuerzo cortante. Usando un conjunto coherente de unidades,
sustituya los datos en la fórmula del cortante y calcule el esfuerzo cortante
r.
Se sugiere que se establezca la dirección
correcta del esfuerzo cortante transversal sobre un elemento de volumen de
material localizado en el punto en que se va a calcular el esfuerzo.
Esto puede hacerse teniendo en cuenta que r
actúa sobre la sección transversal en la misma dirección que V. Con esto se pueden establecer entonces los
esfuerzos cortantes correspondientes que actúan en los otros tres planos del
elemento.
EJEMPLO 1
La viga mostrada en la figura 10ª está
hecha de madera y está sometida a una fuerza cortante interna vertical
resultante V=3 kip.
a)determine el esfuerzo cortante en el
punto p de la viga
b)calcule el esfuerzo cortante máximo en
la viga.
SOLUCIÓN.
Parte a)
Propiedades de la sección. El momento de inercia de la sección
transversal respecto el eje neutro es:
I=
3 =41.7 pulg4
Se traza una línea horizontal por el
punto P y el área parcial A´se muestra sombreada en la figura 10b. Por consiguiente,.
Q=ӯ´A´=[0.5pulg +
(2 pulg)](2 pulg)(4
pulg)=12 pulg3
Esfuerzo cortante. La fuerza cortante en la sección es V=3 kip.
Aplicando la fórmula del cortante, tenemos:
rp=
Como rp contribuye al valor de V, actúa
hacia abajo en P sobre la sección transversal.
En consecuencia, un elemento de volumen del material en este punto
tendrá esfuerzos cortantes actuando sobre él como se muestra en la figura 10c.
Parte (b)
Propiedades de la sección. El esfuerzo cortante máximo ocurre en el eje
neutro, ya que t es constante en toda la sección transversal y Q es máximo para
tal caso. El área A´ sombreada en la
figura 10d. Tenemos:
Q=
ӯ´A´=[
](4 pulg)(2.5 pulg)=12.5 pulg
Esfuerzo cortante. Aplicando la fórmula del cortante, obtenemos:
rmax=
note que esto es equivalente a:
rmax=1.5
hola qué libro es
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