4.1
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE.
Los miembros ligeros que
soportan cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes longitudinales se
llaman vigas. En general, las vigas son
barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes. A menudo se clasifican según el modo en que
están soportadas. Por ejemplo, una viga
simplemente apoyada está soportada por un pasador en un extremo y por un
rodillo en el otro, figura 1A, una viga en voladizo está empotrada en un
extremo y libre en el otro, figura 1B, y una viga con coladizo tiene uno o
ambos extremos libres situados más allá de los soportes, figura 1C, Las vigas
pueden considerarse entere los elementos estructurales más importantes. Como
ejemplos se cuentan los miembros usados para soportar el piso de un edificio,
la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano. También el eje de un automóvil, la pluma de
una grúa e incluso muchos de los huesos del cuerpo humano funcionan como vigas.
Debido a las cargas
aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento flexionante
internos que, en general, varían de punto a punto a lo largo del eje de la
viga. Se necesita primero determinar la
fuerza cortante máxima y el momento flexionante máximo en la viga. Una manera
de hacerlo es expresar V y M como funciones de la posición x a lo largo del eje
de la viga. Esas funciones de fuerza cortante
y momento flexionante pueden trazarse y representarse por medio de gráficas
llamadas diagramas de cortante y momento.
Los valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas
gráficas.
Además, como los diagramas
de cortante y momento dan información detallada sobre la variación de la fuerza
cortante y del momento flexionante a lo largo del eje de la viga, son usados
por los ingenieros para decidir dónde colocar la viga en varios puntos a lo
largo de su longitud.
Usaremos el método de las
secciones para determinar la fuerza cortante V y el momento flexionante M en un
punto específico. Sin embargo, si
tenemos que determinar V y M como funciones de x a lo largo de una viga,
entonces es necesario localizar la sección imaginaria o corte a una distancia x
arbitraria desde el extremo de la viga y calcula V y M en términos de x. Respecto a esto, la selección del origen y de
la dirección positiva para cualquier x seleccionada es arbitraria. Con frecuencia, el origen se localiza en el
extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva se toma hacia la derecha.
En general. Las funciones de
fuerza cortante y momento flexionate internos obtenidas en función de x serán descontinuas,
o bien sus pendientes serán discontinuas en puntos en que una carga distribuida
cambia o donde fuerzas o momentos concentrados son aplicados. Debido a esto , las funciones de cortante y
momento deben determinarse para cada región de la viga localizada entre dos
discontinuidades calesquiera de carga.
Por ejemplo, tendrán que usarse las coordenadas x1,, x2
y x3 para describir la variación de V y M a lo largo de la viga en
la figura 2A. Esas coordenadas serán
válidas sólo dentro de las regiones de A
a B ´para x1, de B a C para x2 y de C a D para x3. Aunque cada una de esas descripciones
coordenadas tiene el mismo origen, esto no tiene que ser siempre el caso. Antes bien, es más fácil expresar V y M como
funciones de x1, x2 y x3 con orígenes en A, C
y D, como se muestra en la figura 2B.
Aquí x1 es positiva hacia la derecha y x2, y x3
son positivas hacia la izquierda.
Convención de signos para
vigas. Antes de presentar un método para
determinar la fuerza cortante y el momento flexionante como funciones de x y
luego trazar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y momento flexionante),
es necesario primero establecer una convención de signos que nos permita
definir fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos positivos y
negativos. Esto es
análogo a la asignación de
direcciones coordenadas x positiva hacia la derecha y y positiva hacia arriba
al graficar una función y=f(x). Aunque la selección de una convención de signos
es arbitraria. Usaremos aquí la frecuentemente usada en la práctica ingenieril
y mostrada en la figura 3. Las
direcciones positivas requieren que la carga distribuida actúe hacia abajo
sobre la viga, que la fuerza cortante interna genere una rotación horaria del
segmento de viga sobre el cual actúa y que el momento interno genere compresión
en las fibras superiores del segmento.
PROCEDIMIENTO DE ANALISIS.
El siguiente procedimiento
constituye un método para determinar las funciones de fuerza cortante y momento
flexionante y para trazar los diagramas correspondientes para una viga.
Reacciones en los
soportes. Dibuje un diagrama de cuerpo
libre de la viga y determine todas las reacciones en los soportes. Descomponga las fuerzas en componentes que
actúen perpendicular y paralelamente al eje de la viga.
Funciones de fuerza cortante
y momento flexionante. Seleccione
coordenadas de la posición x tales que cada coordenada se extienda sobre una
región de la viga localizada entre fuerzas concentradas, momentos concentrados,
o discontinuidades de la carga distribuida.
El origen de cada coordenada puede fijarse en cualquier punto
conveniente, pero por lo regular se fija en el extremo izquierdo de la
viga. Seccione la viga
perpendicularmente a su eje en cada posición x y dibuje el diagrama de cuerpo
libre de uno de los dos segmentos.
Asegúrese de que V y M se muestran actuando en sus sentidos positivos,
de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 3. Use la ecuación de
equilibrio =0 para determinar V en
función de x. El momento interno M en
función de x se obtiene sumando momentos,
=0, respecto a la sección cortada de la viga.
Una vez obtenidos, los
resultados para V y M pueden verificarse usando los resultados de la ecuación
2, V=dM/dx y –w=dV/dx.
Diagramas de fuerza cortante
y momento flexionante. Trace la función
de fuerza cortante (V versus x) y de momento flexionante (M versus, x). Si los valores numéricos de las funciones que
describen V y M son positivos, los valores se grafican arriba del eje x,
mientras que los valores negativos se grafican por debajo de este eje. Generalmente es conveniente mostrar los diagramas
de cortante y momento directamente abajo del diagrama de cuerpo libre de la
vida.
EJEMPLO 1
Dibuje los diagramas de
fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura 4ª.
SOLUCIÓN
Reacciones en los
soportes. Las reacciones en los soportes
se muestran en la figura 4D.
Funciones de fuerza cortante
y momento flexionante. La viga se
secciona a una distancia x arbitraria del soporte A, extendiéndose dentro de la
región AB, y el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo se muestra en
la figura 4B. Las incógnitas V y M se
indican actuando en sentido positivo sobre la carga derecha del segmento, de
acuerdo con la convención de signos establecida. Aplicando las ecuaciones de equilibrio so
obtienen:
+↑∑Fy=0; V=
↓+∑M=0; V= x
En la figura 4C se muestra
un diagrama de cuerpo libre para un segmento izquierdo de la viga que se
extiende una distancia x dentro de la región BC. Como siempre, V y M se muestran actuando en sentido positivo. Por tanto,
+↑∑Fy=0; -P-V=0
V=-
↓+∑M=0; M
+ P(x-L/2)-(P/2)x=0
M=P/2(L-x)
El diagrama de fuerza
cortante representa una gráfica de las ecuaciones 1 y 3 y el diagrama de
momento flexionante representa una gráfica de las ecuaciones 2 y 4, figura 4D.
Note que las ecuaciones pueden verificarse, ya que V = dM/dx en cada caso. También –w=dv/dx=0, ya que no hay carga
distribuida sobre la viga, ni entre A y B, ni entre B y C.
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